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2013年山东省考备考:剖析“多次相遇问题”

关键字:相遇两人迎面全程背面
核心提示:随着近几年公务员考试“高烧不退”的现象持续升温,各省省考试题的难度也越来越大。行程问题做为一种每年必考的题型,在试题的创新性上有很大的出题空间。综观几年的真题,常规题型虽是每年考试的“主力”,但更加复

随着近几年公务员考试“高烧不退”的现象持续升温,各省省考试题的难度也越来越大。行程问题做为一种每年必考的题型,在试题的创新性上有很大的出题空间。综观几年的真题,常规题型虽是每年考试的“主力”,但更加复杂的“多次相遇”问题已在这两年里初试锋芒。华图公务员考试研究中心通过归纳总结,将多次相遇问题可能在今后考试中出现的几种类型一一向大家进行展示,希望对备考的广大考生起到抛砖引玉的作用。

“多次相遇”问题有直线型和环型两种类型。相对来讲,直线型更加复杂。环型只是单纯的周期问题。现在我们分开一一进行讲解。首先,来看直线型多次相遇问题。

一、直线型

直线型多次相遇问题宏观上分“两岸型”和“单岸型”两种。“两岸型”是指甲、乙两人从路的两端同时出发相向而行;“单岸型”是指甲、乙两人从路的一端同时出发同向而行。现在分开向大家一一介绍:

(一)两岸型

两岸型甲、乙两人相遇分两种情况,可以是迎面碰头相遇,也可以是背面追及相遇。题干如果没有明确说明是哪种相遇,考生对两种情况均应做出思考。

1、迎面相遇:

如下图,甲、乙两人从A、B两地同时相向而行,第一次迎面相遇在a处,(为清楚表示两人走的路程,将两人的路线分开画出)则共走了1个全程,到达对岸b后两人转向第二次迎面相遇在c处,共走了3个全程(把甲的bc挪到下边乙处),则从第一次相遇到第二次相遇走过的路程是第一次相遇的2倍。之后的每次相遇都多走了2个全程。所以第三次相遇共走了5个全程,依次类推得出:第n次相遇两人走的路程和为(2n-1)s(s为全程,下同)。

※注:第二次相遇多走的路程是第一次相遇的2倍,分开看每个人都是2倍关系,经常可以用这个“2倍关系”解题。即对于甲和乙而言从a到c走过的路程是从起点到a的2倍。

相遇次数 全程个数 再走全程数 全程时间 多走时间

1 1 1 t t

2 3 2 3t 2t

3 5 2 5t 2t

4 7 2 7t 2t

n 2n-1 2 (2n-1)t 2t

2、背面相遇

与迎面相遇类似,背面相遇同样是甲、乙两人从A、B两地同时出发,如下图,此时可假设全程为4份,甲1分钟走1份,乙1分钟走5份。则第一次背面相遇在a处。第3分钟,甲走3份,乙走15份,两人在c处第二次背面相遇。我们可以观察,第一次背面相遇时,两人的路程差是1个全程,第二次背面相遇时,两人的路程差为3个全程。同样第二次相遇多走的路程是第一次相遇的2倍,单看每个人多走的路程也是第一次的2倍。依次类推,得:第n次背面追及相遇两人的路程差为(2n-1)s。

(二)单岸型

单岸型是两人同时从一端出发,与两岸型相似,单岸型也有迎面碰头相遇和背面追及相遇两种情况。

1、迎面相遇:

如下图,甲、乙两人同时从A端出发,假设全程为3份,甲每分钟走2份,乙每分钟走4份,则甲乙第一次迎面相遇在a处,此时甲走了2份,乙走了4份,共走2个全程。再过1分钟,甲共走了4份,乙共走了8份,在b处迎面第二次相遇,共走4个全程,则从a处相遇到b处两人共走了两个全程,与第一次相遇时的路程和相同,依次类推,每次迎面相遇多走2个全程,可得出:当第n次迎面相遇时,两人的路程和为2ns,每次相遇用的时间相同。

2、背面相遇

与迎面相遇相似,假设全程为3份,甲每分钟走1份,乙每分钟走7份,则第一次背面相遇在a处,2分钟后甲走了2份,乙走了14份,两人在b处背面相遇。由图,第一次相遇两人走的路程差为2S,第二次相遇两人走的路程差为4S,依次类推,每次相遇,两人多走的路程差均为2s,可以得出:当第n次背面相遇时,两人的路程差为2ns,每次相遇用的时间相同。

“直线型”总结(熟记)

①两岸型:

第n次迎面相遇,两人的路程和是(2n-1)S。

第n次背面相遇,两人的路程差是(2n-1)S。

②单岸型:

第n次迎面相遇,两人的路程和为2ns,每次相遇用的时间相同。

第n次背面相遇,两人的路程差为2ns,每次相遇用的时间相同。

下面列出几种今后可能会考到的直线型多次相遇问题常见的类型:

{类型一}:根据“2倍关系”求AB两地的距离。

【例1】甲、乙两人在A、B两地间往返散步,甲从A,乙从B同时出发,第一次相遇点距B

60米,当乙从A处返回时走了10米第二次与甲相遇。A、B相距多少米?

A、150 B、170 C、180 D、200

【答案及解析】B。如下图,第一次相遇在a处,第二次相遇在b处,aB的距离为60,Ab的距离为10。以乙为研究对象,根据2倍关系,乙从a到A,再到b共走了第一次相遇的2倍,即为60×2=120米,Ab为10,则Aa的距离为120-10=110米,则AB距离为110+60=170米。

{类型二}:告诉两人的速度和给定时间,求相遇次数。

【例2】甲、乙两人在长30米的泳池内游泳,甲每分钟游37.5米,乙每分钟游52.5米。

两人同时分别从泳池的两端出发,触壁后原路返回,如是往返。如果不计转向的时间,则

从出发开始计算的1分50秒内两人共相遇多少次?

A、2 B、3 C、4 D、5

【答案及解析】B。题目没说是迎面还是背面,所以两种相遇的次数都应该计算。

法一:根据相遇全程数。如果是迎面相遇,则走的全程的个数为 个,根据迎面相遇n次,走的全程为2n-1=5,求得n=3;如果是背面相遇,则走的全程数为 ,故在1分50秒内,不能背面相遇。所以共相遇3次。

法二:根据相遇时间。第一次迎面相遇时间为 秒走一个全程。共110秒,共110÷20=5.5个,走的全程数为2n-1=5个,求得n=3;如果是背面相遇,则第一次相遇的时间为 秒 110秒,故不能背面相遇。

{类型三}:告诉两人的速度和任意两次迎面相遇的距离,求AB两地的距离。

【例3】甲、乙两车分别从A、B两地同时出发,在A、B间不断往返行驶。甲车每小时行

45千米,乙车每小时行36千米,已知两车第2次与第3次迎面相遇的地点相距40千米,

则A、B相距多少千米?

A、90 B、180 C、270 D、110

【答案及解析】A。法一:相同时间,甲、乙路程比为45:36=5:4,则将全程分成9份。则一个全程时甲走5份,乙走4份。以甲为研究对象,第2次相遇,走的全程数为2×2-1=3个,则甲走的份数为3×5=15份,一个全程为9份,则第2次相遇甲走的份数转化为全程的个数为15÷9=1 6份,1个全程后在乙端,则从乙端数6份。第3次相遇走的份数为(2×3-1)×5=25份,转化为全程的个数为25÷9=2 7,2个全程后在甲端,则从甲端数7份。如下图:

由图第2次和第3次相遇之间共有4份为40千米,则AB相距 =90千米。

法二:除了上述基础公式的利用,我们也可以引入“沙漏模型”。利用沙漏模型解题的前提是题干中已知两人的速度。将速度转化为相同路程的条件下两人的时间比,则以时间为刻度,画出两人到达对岸的路线图,两人走的路线图相交的点即为两人相遇的地点。s-t图中的路线因像古代记时间的沙漏故称为“沙漏模型”。本题中,甲、乙走到端点用的时间比为36:45=4:5。如下图:

根据路线图看出甲乙第2次相遇和第3次相遇的交点E和O,根据三角形相似,可得CE:EG=3:6=1:2,则求得第2次相遇距A地的比例为S/3,同理DO:ON=7:2,则第3次相遇距A地的比例为7S/9,则两次相遇比例为 为40千米,则S=90千米。

点评:考生如果能掌握“沙漏”模型,则在解决多次相遇问题时会更显直观。用交点判断是迎面相遇还是背面相遇的技巧:看相交的两条线是由同一岸引出还是两岸,同一岸则说明是背面相遇,不同岸则说明是迎面相遇。

用时注意:一般题干涉及到的相遇次数较少时可画,相遇次数太多,则会花费大量时间,不利于提高速度;画时的单位刻度要看时间比,如果时间比中的数据较大可把刻度画大。

{类型四}:告诉两人的速度,相遇次数较少时,利用s-t图形成“沙漏”模型速解。

【例5】A、B两地相距950米。甲、乙两人同时由A地出发往返锻炼半小时。甲步行,每

分钟走40米;乙跑步,每分钟行150米。则甲、乙二人迎面相遇距B地最近时,最近距离

是多少?

A、150 B、200 C、250 D、300

【答案及解析】B。利用“沙漏模型”。甲乙走到端点用的时间比为150:40=15:4,半小时两人共走的全程数为 个。对于单岸型,相遇6个全程,则是迎面第三次相遇(由前边公式推出)画出s-t图:

观察上图可知,在3次迎面相遇的过程中,甲乙有一次背面相遇(交点由同一点引出)。而在三次迎面相遇中第2次相遇离B地最近,根据三角形相似AO:OF=AC:EF=16:3,则距B点的距离为 米。

【例6】河道赛道长120米,水流速度为2米/秒,甲船静水速度为6米/秒,乙船静水速度

为4米/秒。比赛进行两次往返,甲、乙同时从起点出发,先顺水航行,问多少秒后甲、

乙船第二次迎面相遇?

A、48 B、50 C、52 D、54

【答案及解析】C。由题知,得出如下关系:

顺流 逆流

甲 8(15) 4(30)

乙 6(20) 2(60)

注:( )中为走完全程的时间。

假设A到B是顺流,由上表可知甲、乙两人第2次迎面相遇共有4个全程。由于甲的速度快,则第2次相遇前甲已走了2个全程。共15+30=45秒。当第45秒时乙走了一个顺流全程20秒和25秒的逆流,走的路程为25×2=50米,则在剩余的70米内,甲乙分别以顺流和逆流相遇时间为t,则有70=(8+2)×t,求得t=7秒,则共用时间45+7=52秒。

本题同样可用“沙漏模型”解决。根据上表中的速度关系,可得出一个全程时的时间关系如下:

顺流 逆流

甲 3 6

乙 4 12

根据时间的关系,得出s-t图像,如下:

观察上图,可看出第二次迎面相遇在P点,以甲为研究对象计算时间,此时甲走了一个顺流,一个逆流,另外EP段为顺流,根据三角形相似可求出走EP用的时间EP:PN=EF:MN=7:8,由上表,求出走EP用的时间为 ,则甲共走的时间为15+30+7=52。

二、环型

环型主要分两种情况,一种是甲、乙两人同地同时反向迎面相遇(不可能背面相遇),一种是甲、乙两人同地同时同向背面追及相遇(不可能迎面相遇)。分开讨论如下:

(一)甲、乙两人从A地同时反向出发:

如下图,一个周长分成4份,假设甲是顺时针每分钟走1份到B,乙是逆时针每分钟走3份到B,则第一次相遇两人走了1个周长,第一次相遇后相当于又同时同地反向出发,所以第二次相遇时共走了2个周长,依次类推,可得出:第n次迎面相遇共走了n圈。

(二)甲、乙两人从A地同时同向出发:

如下图,全程分成4份。假设甲、乙两人都是顺时针同时出发,甲每分钟走1份,乙每分钟走5份,则1分钟后两人在B处第一次背面追及相遇,两人走的路程差为1个周长。再过1分钟后,甲到C处,乙也到C处,两人第二次背面追及相遇,多走的路程差同样为一个周长,依次类推,可以得出:第n次背面追及相遇,路程差为n圈。

环型多次相遇问题相对比较简单,当甲、乙不在同一地点出发时相对具有难度。比如在直径两端出发。考生可通过下面的例题把握。

【例1】老张和老王两个人在周长为400米的圆形池塘边散步。老张每分钟走9米,老王每

分钟走16米。现在两个人从同一点反方向行走,那么出发后多少分钟他们第三次相遇?

A、33 B、45 C、48 D、56

【答案及解析】C。第一次迎面相遇时间为400÷(9+16)=16,则第三次迎面相遇时间为16×3=48。

【例2】小明、小亮从400米环形跑道的同一点出发,背向而行。当他们第一次相遇时,小

明转身往回跑;再次相遇时,小亮转身往回跑;以后的每次相遇分别是小明和小亮两人交

替调转方向,小明速度3米/秒,小亮速度5米/秒,则在两人第30次相遇时小明共跑了

多少米?

A、11250 B、11350 C、11420 D、11480

【答案及解析】A。由题意知,第1次是迎面相遇,第2次是背面追及相遇,之后都是迎面与背面相遇交替。则在30次相遇中,迎面相遇15次,背面相遇15次。迎面相遇一次用时为400÷(3+5)=50,背面相遇一次用时为400÷(5-3)=200,则30次相遇共用时为

15×(50+200)=3750s,则小时在这段时间里跑的路程为3750×3=11250米。

【例3】甲、乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反方向绕此圆形路

线运动,当乙走了100米以后,他们第一次相遇,在甲走完一周前60米处又第二次相遇,

则这个圆形场地的周长为多少米?

A、320 B、360 C、420 D、480

【答案及解析】D。如下图,假设甲、乙分别在直径A、B两端以顺时针和逆时针运动。第1次相遇在C点距B点100米,第2次相遇在D点,距A点60米。

当在直径端点两岸行走时,可将环型转化为直线型,则第2次相遇每个人走的路都是第1次相遇的2倍。以乙为研究对象,则从C到D走的路是B到C的2倍,即200米,因AD为60米,则CA为200-60=140米,所以半个周长为100+140=240米,周长为240×2=480米。

总结

近几年随着题目难度的上升,“多次相遇问题”会逐渐成为考试的主角。考生在备考中要有意识的培养上述几种类型的解题技巧并熟记各种类型的公式,尤其是直线型的多次相遇问题,对于给定两者速度的题目,且相遇次数较少时也可结合更加直观的“沙漏模型”解题。对于环型,不像直线型那么复杂,注意处理好相遇次数,是迎面还是追及相遇,运用公式可快速解题。最后希望上述几种类型的解题技巧对各位考生能起到抛砖引玉的作用,同时祝各位充分备考的考生能取得一个理想的成绩!

华图教育 秦志敏

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